Forme exponentielle et puissance - Corrigé

Énoncé

On pose \(z=1+i\sqrt{3}\) .

1. Écrire  \(z\) sous forme exponentielle.

2. En déduire les entiers \(n \in \mathbb{N}\) tels que \(z^n\) soit un nombre réel.

Solution

1. On note `z=1+i\sqrt{3}` . On a \(\left\vert z \right\vert=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2\) ,
et donc \(\begin{align*}z=2\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)=2\text e^{\frac{i\pi}{3}}.\end{align*}\)

2. Pour tout \(n \in \mathbb{N}\) ,
\(\begin{align*}z^n \in \mathbb{R}& \Longleftrightarrow \arg(z^n) \equiv 0 \ [\pi]\\& \Longleftrightarrow n\arg(z) \equiv 0 \ [\pi]\\& \Longleftrightarrow \frac{n\pi}{3} \equiv 0 [\pi]\\& \Longleftrightarrow n \equiv 0 \ [3]\end{align*}\)
donc \(z^n \in \mathbb{R}\)  si, et seulement si, \(n\) est un multiple de 3.